泊松分布的分布律

泊松分布的分布律：P（X=k）=e^（-λ）*λ^k/k!。泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为λ。

泊松分布的概率公式应用

当一个事件的发生满足以下条件时，可以认为这个事件在某一固定时间段内的发生次数满足柏松分布。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。

如何使用泊松分布表

首先要求的是先打开泊松分布表，然后按照方法进行查找。

首先，泊松分布表的分布函数为

F(x)=P｛X<=x｝=(k=0~x)Σ[λ^k*e^(-λ)]/k!，也就是泊松分布的分布率从0加到x的和

如何在泊松分布表中找到

P｛X=x｝=？

知道P｛X=x｝=P｛X<=x｝-P｛X<=x-1｝（因为泊松分布是离散型的）

所以如果知道λ的值，在列表中找到对应的P｛X<=x｝与P｛X<=x-1｝，相减就得到P｛X=x｝。

举个例子：

参数λ=3.5时，P｛X=8｝是多少。我们可以在泊松分布表中找到

P｛X<=8｝=0.9901，P｛X<=7｝=0.9733

那么P｛X=8｝= P｛X<=8｝-P｛X<=7｝=0.9901-0.9733=0.0168

如果通过公式计算得到P｛X=8｝=0.16865，与查表得到的值完美吻合，即问题解决。Poisson分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。首先根据公式P{X=k}=(λ^k)*e^(-λ)/k!以及模型条件确定λ值，找到和λ对应的列，再找x所在的位置，横竖交叉即为所需查询位置。

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。例如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

二项分布、泊松分布与正态分布三者之间的区别与联系

他们的适用范围不同。

正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布，属于连续分布。

二项分布与泊松分布 则都是离散分布，二项分布的极限分布是泊松分布、泊松分布的极限分布是正态分布。他们的适用范围不同。

正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布，属于连续分布。

二项分布与泊松分布 则都是离散分布，二项分布的极限分布是泊松分布、泊松分布的极限分布是正态分布。二项分布和poisson分布均是常见的离散型分布，在分类资料的统计推断中有非常广泛的应用。

一、二项分布的概念及应用条件

1.二项分布的概念:

如某实验中小白鼠染毒后死亡概率p为0.8,则生存概率为=1-p=0.2，故

对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为p）或生（概率为1-p）

对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为p2）、甲死乙生[概率为p(1-p)]、乙死甲生[概率为(1-p）p]或甲乙均生[概率为(1-p）2]，概率相加得p2+p(1-p)+(1-p）p+(1-p）2=[p+(1-p)]2

依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得pn+cn1p(1-p)n-1+...+cnxpx(1-p)n-x+...+(1-p)x=[p+(1-p)]n其中n为样本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxpx(1-p)n-x为二项式通式，cnx=n!/x!(n-x)!,p为总体率。

因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。其概率密度为：

p(x)=cnxpx(1-p)n-x,x=0,1,...n。

2.二项分布的应用条件:

医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1)每次实验只有两类对立的结果；(2)n次事件相互独立；(3)每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。

3.二项分布的累计概率

二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。

4.二项分布的图形

二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于p和n的大小；(2)当p=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3)当p<>0.5,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。

5.二项分布的均数和标准差

二项分布的均数μ=np，当用率表示时μ=p

二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。

二、二项分布的应用

二项分布主要用于符合二项分布分类资料的率的区间估计和假设检验。当p=0.5或n较大，np及n(1-p)均大于等于5时，可用(p-u0.05sp,p+u0.05sp)对总体率进行95%的区间估计。当总体率p接近0.5，阳性数x较小时，可直接计算二项分布的累计概率进行单侧的假设检验。当p=0.5或n较大，np及n(1-p)均大于等于5时，可用正态近似法进行样本率与总体率，两个样本率比较的u检验。

三、poisson分布的概念及应用条件

1.poisson分布的概念:

poisson分布是二项分布n很大而p很小时的特殊形式，是两分类资料在n次实验中发生x次某种结果的概率分布。其概率密度函数为：p(x)=e-μ*μx/x!x=0,1,2...n，其中e为自然对数的底，μ为总体均数，x为事件发生的阳性数。

2.poisson分布的应用条件:

医学领域中有很多稀有疾病(如肿瘤,交通事故等）资料都符合poisson分布，但应用中仍应注意要满足以下条件：（1)两类结果要相互对立；（2)n次试验相互独立；（3)n应很大,p应很小。

3.poisson分布的概率

poisson分布的概率利用以下递推公式很容易求得：

p(0)=e-μ

p(x+1)=p(x)*μ/x+1,x=0,1,2,...

4.poisson分布的性质:

(1)poisson分布均数与方差相等；

(2)poisson分布均数μ较小时呈偏态,μ>=20时近似正态；

(3)n很大,p很小，np=μ为常数时二项分布趋近于poisson分布；

(4)n个独立的poisson分布相加仍符合poisson分布

四、poisson分布的应用

poisson分布也主要用于符合poisson分布分类资料率的区间估计和假设检验。当μ>=20时，根据正态近似的原理，可用（x-u0.05*x的算术平方根，x+u0.05*x的算术平方根）对总体均数进行95%的区间估计。同样，也可通过直接计算poisson分布的累计概率进行单侧的假设检验，在符合正态近似条件时，也可用u检验进行样本率与总体率，两个样本率比较的假设检验。